SUMA DE RIEMMAN

Si P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:

• R(f, P) = f(t_j) (x_j - x_j-1)

donde t_j es un número arbitrario en el intervalo [x_j-1, x_j].
la suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma
de las áreas de los rectángulos con base x_j - x_j-1 y altura f(t_j).

Tipos de aproximación de la integral

Por tanto, surge la duda de qué punto t_j tomar dentro de cada subintervalo de la partición para evaluar la función en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto t_j en el subintervalo [x_j-1, x_j], y las más utilizadas son éstas:

- Punto izquierdo: se toma como valor t_j el límite inferior del subintervalo, es decir, x_j-1. Gráficamente:

- Punto derecho: se toma como valor t_j el límite superior del subintervalo, es decir, x_j. Gráficamente:

- Punto medio: se toma como valor t_j el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir, (x_j-1 + x_j) / 2. Gráficamente:

- Punto aleatorio: se toma como valor t_j un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo. Gráficamente:

- Punto ínfimo: se toma como valor t_j aquel punto del subintervalo tal que f(t_j) es el ínfimo en ese subintervalo. Gráficamente:

- Punto supremo: se toma como valor t_j aquel punto del subintervalo tal que f(t_j) es el supremo en ese subintervalo. Gráficamente:

Los dos últimos tipos de aproximación no son útiles en la práctica, pues para aplicarlos sería necesario calcular el ínfimo o el supremo de f(t_j), teniendo que recorrer todo el subintervalo. Pero esto no es necesario; ¿Por qué?

Si una función es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(f,P) tomando t_j como queramos.

Veamos esto: si la función es Riemann-Integrable, cualquier suma de Riemann R(f, P) tiende al valor de la integral, porque para cualquier punto t_j tenemos que d_jf(t_j)c_j (siendo d_j el ínfimo y c_j el supremo en ese subintervalo), luego I(f,P)R(f,P)S(f,P).

Funciones Riemann-Integrables
 

• Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

• Toda función continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado, excepto en una cantidad numerable de puntos, es Riemann-Integrable.

• Recíprocamente, si una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable, entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos.

• Toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

Veamos un ejemplo de una función Riemann-Integrable no continua. Definamos la función:

La representación gráfica de esta función es:

Esta función es Riemann-Integrable, porque se pueden calcular las áreas de los rectángulos escalonados. Y sin embargo, no es continua en una cantidad numerable de puntos, es decir, en 1/n, siendo n un número natural.