LIMITES DE LAS SUMAS SUPERIOR E INFERIOR

Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
• La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
  S(f, P) = c_j (x_j - x_j-1) donde c_j es el supremo de f(x) en el intervalo [x_j-1, x_j].
• La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
  I(f, P) = d_j (x_j - x_j-1) donde d_j es el ínfimo de f(x) en el intervalo [x_j-1, x_j].

Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
• La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:
I(f, P) I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:


• La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:
  S(f, P') S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

• la integral superior I^*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

• la integral inferior I_*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }
Entonces si I^*( f ) = I_*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:  
 f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.