CONSERVACIÓN DE DESIGUALDADES

• Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado [a, b] entonces 

Demostración: Si f(x) ³ 0 entonces representa el área bajo la curva de f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).

• Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] con f(x) ³ g(x) para todo x en [a, b] entonces .

Demostración: Si f(x) ³ g(x) podemos asegurar que f(x) - g(x) ³ 0 y le podemos aplicar la propiedad anterior y por lo tanto . De aquí -³ 0 y de esta manera .

Supongamos que m y M son constantes tales que m £ f(x) £ M para a £ x £ b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica queda entre la recta y = m    y   la recta   y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema:

• Si f es integrable y   m £ f(x) £ M   para   a £ x £ b   entonces     m (b - a) £ £ M (b - a).

• Si y = f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M.

En general dado que m £ f(x) £ M podemos asegurar, por la propiedad anterior que

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Si se evalúan las integrales de los extremos de la desigualdad resulta m (b - a) £ £ M (b - a).