Integrales de funciones racionales

$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad P(x),Q(x)\in \R[x]$
Si el denominador es un polinómico mónico $\scriptstyle Q(x)$ con k raíces diferentes, entonces admitirá la siguiente factorización en términos depolinomio irreducibles:
$\begin{cases} Q(x) = (x-r_1)^{m_1} (x-r_2)^{m_2} \dots (x-r_k)^{m_k} (x^2+s_1x+t_1)^{n_1} \dots (x^2+s_lx+t_l)^{n_l}\\ k,l,m_i,n_j\in \mathbb{N},\ r_p,s_p,t_p \in \R \end{cases}$
Si $\scriptstyle \mbox{gr}(P) < \mbox{gr}(Q)$ entonces la función racional puede escribirse como combinación lineal de fracciones racionales de las formas:
$\begin{matrix} f_1(x) = \cfrac{1}{(x-r_i)} & f_2(x)= \cfrac{1}{(x-r_i)^{u}} \\ f_3(x) = \cfrac{1}{x^2+a^2} & f_4(x) = \cfrac{1}{(x^2+a^2)^{v}} \\ f_5(x) = \cfrac{x}{x^2+a^2} & f_6(x) = \cfrac{x}{(x^2+a^2)^{w}} \end{matrix}$
Por lo que la integral de la función $\scriptstyle f(x)$ es una combinación lineal de funciones de la forma:
$\begin{matrix} F_1(x) = \ln(x-r_i) & F_2(x)= \cfrac{1-u}{(x-r_i)^{u-1}} \\ F_3(x) = \cfrac{1}{a}\arctan \cfrac{x}{a} & F_4(x) = \cfrac{1}{2a^2}\left( \cfrac{x}{(v-1)(x^2+a^2)^{v-1}} + \cfrac{2v-3}{v-1} \int \cfrac{dx}{(x^2+a^2)^{v-1}} \right) \\ F_5(x) = \cfrac{1}{2}\ln(x^2+a^2) & F_6(x) = \cfrac{-1}{2(w-1)(x^2+a^2)^{w-1}} \end{matrix}$
Obsérvese que lo anterior implica que las funciones racionales constituyen un cuerpo algebraico que es cerrado bajo la derivación, pero no bajo la integración.

Integración por partes

Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas.

1. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).

2. La fórmula de la derivada de un producto de dos funciones, aplicada a f(x).g(x), permite
escribir, d(f(x).g(x)) = g(x).f´(x)dx + f(x).g´(x)dx

3. Integrando los dos miembros,

∫ d[f(x).g(x)] =∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx

De la misma manera que ∫ dx = x, también ∫ d[f(x).g(x)] = f(x).g(x)

Por tanto, f(x).g(x) = ∫ g(x).f´(x).dx + ∫ f(x).g´(x).dx.

De aquí se obtiene que:

∫ f(x).g´(x).dx = f(x).g(x) - ∫ g(x).f´(x).dx

Esta no es la fórmula usual de la integración por partes.

Puesto que u =f(x), du = f´(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g´(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

Ejercicio: integración por partes

1) Calcular ∫ ln x dx

Resolución:

Este es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función, ln x.

Haciendo u = ln x, y diferenciando, du = dx/x

Necesariamente, dv = dx. Integrando ambos miembros, ∫ dv =∫ dx. Es decir, v = x.

Aplicando la fórmula, ∫ ln x dx = x.ln x - ∫ x.(1/x).dx = x.ln x - x + C

INTEGRACION POR PARTES

integracion por sustitucion o cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo

Cambios de variables usuales

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.

6. Si

es par: