AREA DE UNA REGION PLANA

Ya en tiempos de los griegos se desarrolló un método llamado exhaución para calcular áreas de figuras planas. El método consistía en sucesivas aproximaciones (esencialmente es un paso al límite) en las que el área que se quiere calcular se encierra entre polígonos inscritos y circunscritos de n lados. A medida que aumenta n el área que se quiere calcular se va delimitando más claramente. Fue Arquímedes el que perfeccionó y afinó el método consiguiendo calcular áreas de elipses (obtuvo la fórmula para medir el área de esta cónica), sectores parabólicos y sectores de Espiral. En el ejemplo de arriba puedes ver una aproximación para obtener el área de un círculo. Por supuesto faltan los polígonos circunscritos, puesto que el área final está comprendida entre el área del polígono inscrito y la del polígono circunscrito. Nosotros vamos a hacer un ejercicio muy similar para intentar calcular el área de una región plana limitada por una curva y los ejes x e y Supongamos la gráfica de f(x)=-x2+5 Vamos a utilizar el método del exhaución para calcular el área comprendida entre la gráfica de f(x) y las rectas x=0 y x=5 Utilizaremos 5 rectángulos para aproximar el área de la región que ves es la captura de arriba. Primero utilizaremos rectángulos que aproximarán el área por dt efeco. La base de cada rectángulo dibujado es 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales). Los puntos terminales de la derecha en cada intervalo los podemos expresar como 2i / 5, siendo i=1,2,3,4,5 Los puntos terminales de la izquierda los podemos expresar como 2 (i-1) /5 siendo i=1,2,3,4,5 El área de cada uno de los rectángulos se obtiene de multiplicar su base= 2/5 por la altura, que será en cada caso el valor de la función en cada punto terminal de la derecha. Podemos expresarlo como Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2i/5) Si queremos obtener la suma de los cinco rectángulos podemos hacerlo de la siguiente forma mediante la notación sigma: Aquí vemos que la aproximación por defecto al área buscada utilizando los cinco rectángulos es 6.48 unidades cuadradas Procedamos ahora a aproximar el área por exceso La base de cada rectángulo dibujado vuelve a ser 2/5 (puesto que hemos dividido 2 unidades en cinco partes iguales). Ahora la altura de cada rectángulo viene dada por el valor de la función en cada punto terminal de la izquierda. El Área del i-ésimo rectángulo= 2/5 . f(2(i-1)/5) La suma de todos los rectángulos vendrá dada por el sumatorio siguiente expresado en notación sigma: Aquí vemos que la aproximación por exceso al área buscada utilizando los cinco rectángulos es 8.08 unidades cuadradas. Podemos concluir que el Área de la región objeto de estudio está comprendida entre las dos medidas encontradas: 6.48 < Área de la región plana < 8.08 Si quisiéramos afinar la medición lo que tendremos que hacer será aumentar el nº de rectángulos: Por ejemplo si utilizamos 25 rectángulos para aproximar la medición, tendríamos: Área por defecto Área por exceso 7.1712 < Área de la región plana < 7.4912